РУС    :    ENG

 

Форма оси, конструкция и расчет устойчивости арок

25.06 // 2008

 

Промышленное и гражданское строительство, № 5, 2008 г.

Грудев И.Д., д.т.н., проф.
Симон Н.Ю., к.т.н., ученый секретарь
Дворников В.А., и.о. директора ЦНИИПроектлегконструкции

Современные спортивные сооружения имеют, как правило, пролеты 100 м и более. Для перекрытия таких пролетов, исходя из решений архитекторов и функциональных требований к сооружению, используют различные конструктивные решения: висячие вантовые конструкции, фермы, арки, а также комбинированные конструкции, включающие в себя фермы, ванты, пилоны и т. д. В данной статье рассмотрены лишь арочные перекрытия, а именно геометрические формы оси и конструктивные решения арок больших пролетов, а также расчет их на устойчивость.
Не обсуждая преимущества и недостатки различных типов сооружений, отметим важное свойство арочных покрытий — эстетичность внутреннего вида. Это создается благодаря включению в объем зала верхней, подарочной, части, в то время как плоский потолок зачастую производит впечатление перекрытия, провисающего вниз и как бы грозящего вот-вот обрушиться.
По существу, использование арки для перекрытия больших пролетов направлено на создание оптимальной конструкции, все элементы которой нагружены в основном сжимающими усилиями с минимальной работой на изгиб. Весьма уместно сравнить работу арки с работой оболочек трубы или резервуара, нагруженных внутренним давлением газа или жидкости. Для конструкции трубы нагрузка на оболочку одинакова: внутреннее давление действует нормально к поверхности трубы. Следовательно, оптимальная, равнонапряженная конструкция трубы должна иметь постоянную кривизну поперечного сечения, т. е. быть круглой. Такая конструкция имеет и неоспоримые технологические преимущества. 
Для резервуара внутреннее давление жидкости меняется по высоте, поэтому оптимальной будет конструкция с переменной толщиной стенки. Изменять толщину стенки резервуара технологически возможно только ступенчато. Если не рассматривать изгиб трубы или вертикальную, например, снеговую нагрузку на стенку резервуара, то для подбора толщин оболочек этих конструкций можно ограничиться расчетом соответствующего кольцевого элемента на прочность, считая его растянутым.
Работа арки под действием внешней вертикальной нагрузки (собственный вес, снег) отличается от работы трубы или резервуара в основном тем, что нагрузка на арку направлена внутрь конструкции и вызывает в ее элементах напряжения сжатия. Поэтому расчет арок на устойчивость становится определяющим. Кроме того, внешняя нагрузка на арку действует не по нормали к поверхности и изменяется по длине арки. В результате неизбежно возникает изгиб в плоскости арки, и для оптимизации остается единственный параметр — кривизна арки в зависимости от длины дуги. Подбирая функцию кривизны, можно приблизиться к идеальной, т. е. безмоментной работе такой конструкции.
Согласно СНиП 2.01.07-85* «Нагрузки и Воздействия» выбираем два варианта схем снеговой нагрузки на арку. Для каждого из них получаем свою функцию кривизны, но почти всегда существует одна определяющая нагрузка, для которой и следует находить оптимальную зависимость кривизны от длины дуги. При этом несущая способность арки на действие моментов, возникающих при других вариантах нагрузки, в большинстве случаев оказывается обеспеченной автоматически.
В силу неизбежных требований технологии изготовления и унификации элементов арки представляют собой полигональную конструкцию из кусочно-линейных элементов. Каждый прямолинейный элемент рассматриваем как блок, состоящий из двух ферм, соединенных распорками. На рис. 1 изображена схема правой половины арки в перевернутом виде.
Рис. 1. Расчетная схема арки
G_1.JPG
При этом описание формы ее оси становится наиболее удобным, а нагрузки, действующие на арку в направлении оси Y, оказываются положительными. Все функции для левой половины арки определяем из условий симметрии. Для обеспечения равного уклона на коньке число блоков-ферм всегда четное — 2n. Длины ферм из соображений унификации обычно одинаковые, поэтому полагаем Li = Lf = const.
Таким образом, форма оси арки — кусочно-линейная кривая, узлы которой соответствуют узлам сопряжения осей ферм, а под кривизной арки подразумеваем кривизну этой кривой. Для получения необходимой кривизны оси арки пояса ферм обрезают под определенными углами скоса, которые при переменной кривизне могут быть различными (δ0i и δ1i), как показано на рис. 2в. Для обеспечения стыковки соседних ферм должно выполняться равенст¬во δ1,i-1 = δ0,i = δi-1 Отсюда следует уравнение βi = βi-1 + 2βi-1 (i = 2, ..., n) и условие на коньке β1 = δ0. (1)
Рис. 2. Сечение арки (а), схема "семиступенчатого" расчетного сечения (б), схема фермы и углы скоса поясов фермы δ0i и δ1i
G_2.JPG

Это рекуррентное соотношение позволяет вычислять углы наклона ферм βi по заданным значениям углов скоса δi, которые оказываются наиболее удобными исходными параметрами, определяющими форму оси арки.
В свою очередь, по углам наклона ферм βi легко определить координаты узлов арки хi и уi, пролет арки La, стрелу подъема f0 и длину оси Sa:
G_3.JPG
В большинстве случаев арки проектируют кругового очертания. При этом углы скоса получаются одинаковыми: δi = δc = const и достигает¬ся наибольшая унификация ферм. Например, для относительной стрелы подъема f0 = f0/La = 1/5 и при числе блоков-ферм 2n = 10 угол скоса ферм δc = 4,36°.
Несущую способность арки рассчитывают по методу, описанному в [1]. Форма оси задается с помощью таблицы направляющих косинусов, которые, в свою очередь, определяют через углы наклона осей кусочно-линейных ферм по формулам:


G_4.JPG
где т — число шагов интегрирования по безразмерной длине дуги s=s/S0 (0 ≤ s≤1);


G_5.JPG
В узлах соединения ферм при значениях s = si принимают среднее значение углов наклона соседних ферм β(si)=( βi+ βi+1)/2.
В случае круговой арки для углов βk получают зависимость βk(sk), приведенную на рис. 3 для правой половины перевернутой арки (см. рис. 1).
Рис. 3. Узлы наклона оси арки и расчетные точки при интегрировании
G_6.JPG
Опыт строительства показал, что пояса ферм, элементы решеток и распорки, соединяющие плоские фермы, целесообразно выполнять из замкнутых гнуто-сварных квадратных профилей. Таким образом обеспечивается жесткое безфасоночное соединение.
Рассматривая арку — пространственный сквозной стержень как единый криволинейный элемент, произведем расчет его общей устойчивости. Тогда сечение арки, представленное на рис. 2а, преобразуется в «семиступенчатое» сечение (рис. 2б).
В качестве примера дан расчет арки покрытия на устойчивость (проект крытого ледового стадиона в Хабаровске).
Исходные геометрические параметры: пролет арки La = 99 м; число блоков, составляющих арку (см. рис. 1) 2n= 10; относительная стрела подъема f0/La = 1/5; шаг арок ba = 12 м.
Сечения поясов ферм приняты из квадратного гнуто-сварного профиля Гн.250х250х9, марка стали С345. Для расчета используется унифицированная диаграмма σ—ε для строительных сталей [2].
Определяющая нагрузка на арку соответствует варианту симметричной схемы снеговой нагрузки и собственному весу конструкций без учета ветровой нагрузки, так как она создает отсос. Учитывая то обстоятельство, что снеговая нагрузка относится к площади горизонтальной проекции поверхности покрытия, суммарная нагрузка, отнесенная к единице длины оси арки, оказывается непостоянной, хотя и направленной строго вертикально.
В качестве аргумента деформирования арки под действием вертикальной нагрузки принята безразмерная величина вертикального прогиба конькового сечения, равного на шаге деформирования Δuy = Δuy(0,5)/Sа = 0,00001.
При расчете определяли все функции в каждом расчетном сечении и на каждом шаге деформирования (перемещения, углы поворота оси арки, изгибающие моменты, продольные и поперечные усилия и величины нагрузки). В частности, вычисляли безразмерную величину нагрузки qy = qyS3a/EJa в зависимости от безразмерного вертикального прогиба в коньке uy = uy(0,5)/Sa.
Горизонтальное перемещение вершины арки, отмеченное в [1], для рассматриваемой арки с небольшой стрелой подъема происходит настолько резко, что соответствующий уровень нагрузки становится весьма удобным критерием наступления критического состояния qycr. В связи с этим несущую способность определяли шагом деформирования, когда вершина арки резко (более чем на порядок) смещается горизонтально. На рис. 4 показаны кривые отпорности для круговой и для оптимальной формы оси арки. На этих кривых отмечены критические зна¬чения нагрузки qycr и значения qye, при которых в наиболее нагруженном волокне достигается предел упругости.
Рис. 4. Кривые опорности для I и IV вариантов формы оси арки
G_7.JPG
При небольших стрелках подъема арки осевое усилие в поясах мало меняется по длине арки и практически не зависит от ее формы. Изгибающий момент, наоборот, значительно изменяется по длине арки и зависит от формы ее оси. Поэтому на результирующие напряжения в поясах арки, а следовательно и на ее несущую способность, влияет форма оси арки. Они могут быть минимизированы при выборе оптимальной ее формы. Моменты, возникающие в арке, существенно зависят от ее кривизны, но визуально человеческий глаз слабо улавливает кривизну.
Арки различной кривизны внешне выглядят очень похожими, но распределение моментов в них может быть не только количественно, но и качественно разным. Для иллюстрации этого утверждения проведен ряд расчетов, в которых варьировали величины углов скоса в фермах арки. Воспользуемся формулами (1)—(4) для описания формы оси арки и методикой из [1] для сравнения эпюр моментов и кривых отпорности, определяющих несущую способность таких арок. В таблице 1 представлены четыре варианта расчетных углов скоса поясов ферм для арки с параметрами, приведенными выше.
Таблица 1. Максимальные значения моментов и несущей способности арки в зависимости от формы ее оси
G_8.JPG
Эпюры моментов для этих четырех вариантов (для правой половины арки) приведены на рис. 5.
Рис. 5. Эпюры моментов для четырех вариантов формы оси арки
G_9.JPG
Для левой половины арки эпюра моментов симметрична. Обращает на себя внимание противоположный характер эпюр M(s) для первого и второго вариантов. Максимальные по абсолютной величине значения моментов от варианта к варианту уменьшаются, а несущая способность qycr возрастает. Внешне формы оси арки по всем четырем вариантам почти не различаются.
В дальнейших исследованиях следует разработать процедуру оптимизации формы арки, так как полученный в проведенных расчетах запас несущей способности (14%) может быть еще выше.
Отметим, что в рассмотренных вариантах оси арки во всех сечениях внутренний (нижний) и наружный (верхний) пояса испытывают напряжения продольного сжатия, что, безусловно, следует учитывать при проектировании узлов сопряжения ферм.
Литература
1. Грудев И. Д. Устойчивость стержневых элементов в составе стальных конструкций. М.: МИК, 2005.
2. Одесский П. Д., Вельский Г. Е. О едином подходе к использованию диаграмм работы строительных сталей // Пром. стр-во. 1980. №7

Грудев И.Д., Симон Н.Ю., Дворников В.А. Форма оси, конструкция и расчет устойчивости арок.pdf